Question

5．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的兩點(diǎn)，AD=CE，且AE與BD交于點(diǎn)P，BF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABD≌△CAE；
（2）若BP=6，求PF的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可證明△ABD≌△CAE；
（2）由△ABD≌△CAE得出對應(yīng)角相等∠ABD=∠CAE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出PF的長．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}&{\;}\\{∠BAD=∠ACE}&{\;}\\{AD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，
∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠PFB=90°，
∴∠PBF=30°，
∴PF=$\frac{1}{2}$BP=3．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．