Question

4．如圖，在矩形OABC紙片中，OA=7，OC=5，D為BC邊上動(dòng)點(diǎn)，將△OCD沿OD折疊，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l：y=-x+7上時(shí)，記為點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊OA上時(shí)，記為點(diǎn)G．
（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)E、F、G三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l上時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）可以設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+7），由OE=OC=5可得$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，解方程即可解決問(wèn)題．
（2）求出點(diǎn)G坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過(guò)E、F、G三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把E、F、G三點(diǎn)坐標(biāo)代入，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．
（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，5）（m＞0），則CD=m，由ED=CD或FD=CD，可得$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m，或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，解方程即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E在直線y=-x+7上，
∴可以設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+7），
∵OE=OC=5，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，
解得x=3或4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，3）．

（2）∵OG=OC=5，且點(diǎn)G在x坐標(biāo)軸上，
∴G（5，0），
設(shè)經(jīng)過(guò)E、F、G三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=4}\\{16a+4b+c=3}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過(guò)E、F、G三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．

（3）∵BC∥x軸，且OC=5，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，5）（m＞0），則CD=m，
∵ED=CD或FD=CD，
∴$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m，或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，
解得m=$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$，
∴當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l上時(shí)，CD的長(zhǎng)為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．