Question

7．如圖，拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是B（B在A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．拋物線的對(duì)稱軸EF交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)是D，以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)作四邊形，設(shè)以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．
（1）n=m-1（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）用含m的代數(shù)式表示線段BE的長(zhǎng)；
（3）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若以點(diǎn)B，C，D，E的頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的拋物線解析式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線y=x²+mx+n，即可用含m的代數(shù)式表示n；
（2）縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得答案
（3）根據(jù)梯形的面積公式，可得答案；
（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴1-m+n=0，
∴n=m-1，
故答案為：m-1；

（2）拋物線y=x²+mx+m-1的對(duì)稱軸是x=-$\frac{m}{2}$，
∴BE=AE=-$\frac{m}{2}$+1．

（3）0＜m≤2時(shí)，四邊形BECD是梯形，BE=-$\frac{m}{2}$+1，CD=m，OC=m-1，
S=$\frac{（BE+CD）•OC}{2}$=$\frac{（-\frac{m}{2}+1+m）•（m-1）}{2}$
即S=$\frac{{m}^{2}+m-2}{4}$，
當(dāng)m＜0時(shí)，四邊形BECD是梯形，BE=-$\frac{m}{2}$+1，CD=-m，OC=1-m，
S=$\frac{（BE+CD）•OC}{2}$=$\frac{（-\frac{m}{2}+1-m）（1-m）}{2}$
即S=$\frac{3{m}^{2}-4m+1}{4}$，

（4）（3）①當(dāng)m＞0時(shí)，如圖1，

∵拋物線y=x²+mx+m-1的對(duì)稱軸是x=-$\frac{m}{2}$，
∴CD=m，BE=AE=-$\frac{m}{2}$+1．
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴m=-$\frac{m}{2}$+1，
∴m=$\frac{2}{3}$；
②當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，如圖2，
CD=-m，BE=AE=-$\frac{m}{2}$+1．
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴-m=-$\frac{m}{2}$+1．                                                     
∴m=-2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線對(duì)稱軸公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解（3）的關(guān)鍵是利用梯形的面積公式，要分類(lèi)討論，以防遺漏；解（4）的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類(lèi)討論，以防遺漏．