Question

19．已知如圖，拋物線與y軸交于A（0，-2），與x軸交于B（-2，0），C（2，0），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng)．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$，試求∠APB的度數(shù)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說明理由；
（4）當(dāng)∠APB的度數(shù)為135°，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）求得OB=OC=OP=2，從而求得∠APO=$∠BPO=\frac{45°}{2}$，即可求得∠APB=45°；
（3）求得PD∥AC，使得以A、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則AC=PD=2$\sqrt{2}$，過P作PG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，通過三角形相似對應(yīng)邊成比例即可求得；
（4）先證得△AOB是等腰直角三角形，證得OE垂直平分AB，進(jìn)而證得PB是∠ABO的平分線得出PE=PF，設(shè)PF=PE=OF=x，在RT△OPF中，根據(jù)勾股定理即可求得；

解答 解；（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線與y軸交于A（0，-2），與x軸交于B（-2，0），C（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{4a-2b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}}\\{y=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{5}}\\{y=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴D（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）；
（2）如圖1，把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$代入y=x得，y=x=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OP=$\sqrt{2×（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∵OB=OC=2，
∴OB=OC=OP=2，
∵∠POC=45°，
∴∠POA=90°+45°=135°，
∴∠APO=（180°-135°）×$\frac{1}{2}$=$\frac{45°}{2}$，
∴$∠BPO=\frac{45°}{2}$，
∴∠APB=45°；
（3）存在；
∵A（0，-2），C（2，0），
∴直線AC的解析式為y=x-2，
∴與直線y=x平行，
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PD=2$\sqrt{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}}\\{y=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{5}}\\{y=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴D（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）
∴OD=$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$，
∴OP=OD-PD=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$或OP=OD+PD=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$，
過P作PG⊥x軸于G，DH⊥x軸于H，
∴PG∥DH，
∴△POG∽△DOH，
∴$\frac{OG}{OP}$=$\frac{OH}{OD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{OG}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{OG}{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得OG=$\sqrt{5}$-1或$\sqrt{5}$+3，
∴P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{5}$-1或$\sqrt{5}$+3，
∵P的是直線y=x上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，
∴P的坐標(biāo)為（$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1）或（$\sqrt{5}$+3，$\sqrt{5}$+3）；
（4）如圖2，∵B（-2，0），C（2，0），
∴OB=OC=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵點(diǎn)P是直線y=x上的點(diǎn)，
∴∠POB=∠POA，
∴OE⊥AB，BE=AE，
∴PB=PA，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠APB=135°，
∴∠PAB=∠PBA=22.5°
∴BP是∠ABO的平分線，
作PF⊥x軸于F，
∴PF=PE，
設(shè)PF=PE=OF=x，
∵OE垂直平分AB，∠AOB=90°，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴OP=$\sqrt{2}$-x，
在RT△OPF中，OP²=PF²+OF²，
即（$\sqrt{2}$-x）²=x²+x²．
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=-2-$\sqrt{2}$（舍去），
∴P（-2+$\sqrt{2}$，-2+$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．