Question

10．如圖所示，Rt△PAB的直角頂點(diǎn)P（3，4）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A、B在函數(shù)y=$\frac{t}{x}$（x＞0，0＜t＜k）的圖象上，PA∥y軸，連接OP，OA，記△OPA的面積為S_△OPA，△PAB的面積為S_△PAB，設(shè)w=S_△OPA-S_△PAB．
①求k的值以及w關(guān)于t的表達(dá)式；   
②若用w_max和w_min分別表示函數(shù)w的最大值和最小值，令T=w_max+a²-a，其中a為實(shí)數(shù)，求T_min．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得S_△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{t}{3}$）（3-$\frac{t}{4}$），再根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義知S_△OPA=S_△OPC-S_△OAC=6-$\frac{1}{2}$t，由w=S_△OPA-S_△PAB可得答案；
（2）將（1）中所得解析式配方求得w_max=$\frac{3}{2}$，代入T=w_max+a²-a配方即可得出答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（3，4），
∴在y=$\frac{t}{x}$中，當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{t}{3}$，即點(diǎn)A（3，$\frac{t}{3}$），
當(dāng)y=4時(shí)，x=$\frac{t}{4}$，即點(diǎn)B（$\frac{t}{4}$，4），
則S_△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{t}{3}$）（3-$\frac{t}{4}$），
如圖，延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)C，

則PC⊥x軸，
又S_△OPA=S_△OPC-S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$t=6-$\frac{1}{2}$t，
∴w=6-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（4-$\frac{t}{3}$）（3-$\frac{t}{4}$）=-$\frac{1}{24}$t²+$\frac{1}{2}$t；

（2）∵w=-$\frac{1}{24}$t²+$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{24}$（t-6）²+$\frac{3}{2}$，
∴w_max=$\frac{3}{2}$，
則T=w_max+a²-a=a²-a+$\frac{3}{2}$=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，T_min=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例系數(shù)k的幾何意義及配方法求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．