Question

13．如圖，點E、F分別在直線AB、CD上，連接EF，分別作∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H，得到的四邊形EFGH為矩形．
（1）求證：AB∥CD．
（2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進行了探索，過點G作MN∥EF，分別交AB、CD于點M、N，過點H作PQ∥EF，分別交AB、CD于點P、Q，得到四邊形MNQP．此時，他猜想四邊形MNQP是菱形．請補全他的證明思路．
小明的證明思路：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF易證，四邊形MNQP是平行四邊形．要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ．由已知條件FG平分∠CFE，MN∥EF，可得GN=FN，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，由于易證GE=FH，∠GME=∠FQH，故要證△MGE≌△QFH，只要證∠MGE=∠QFH，由∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證．
（3）請你再寫出一條菱形的判定定理．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EGF=90°，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可；
（3）寫出寫出一條菱形的判定定理即可．

解答 （1）證明：∵四邊形EGFH為矩形，
∴∠EGF=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
∵GE，GF分別是∠AEF，∠NFE的平分線，
∴∠AEF+∠NFE=180°，
∴AB∥CD；

（2）解：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，
要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證 GE=FH、∠GME=∠FQH，
故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證；
故答案為：FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH；

（3）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

點評 此題主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出證明菱形的方法是解題關鍵．