Question

6．如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA=4，OB=3，點C在邊OA上，AC=1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經(jīng)過圓心P，則k的值是（　�。�

• A． $-\frac{5}{4}$
• B． $-\frac{5}{3}$
• C． $-\frac{5}{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 作PM⊥AB于M，PN⊥x軸于N，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得PM=PN=r，再利用面積法求出r=$\frac{1}{2}$，接著證明△OBC為等腰直角三角形得到NC=NB=$\frac{1}{2}$，于是得到P點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$），然后把P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$可求出k的值．

解答 解：作PM⊥AB于M，PN⊥x軸于N，如圖，設(shè)⊙P的半徑為r，
∵⊙P與邊AB，AO都相切，
∴PM=PN=r，
∵OA=4，OB=3，AC=1，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△PAB+S_△PAC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•5r+$\frac{1}{2}$•r•1=$\frac{1}{2}$•3•1，解得r=$\frac{1}{2}$，
∴BN=$\frac{1}{2}$，
∵OB=OC，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴NC=NB=$\frac{1}{2}$，
∴ON=3-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴P點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
把P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{5}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$．
故選A．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．也考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．