Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D在邊AB上運動，DE平分∠BDC交邊BC于點E，EM⊥BD，垂足為N．
（1）當∠CAD=∠ACD時，求證：DE∥AC；
（2）當點D運動到什么位置時，△BME與以C，N，E為頂點的三角形相似？求出此時AD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由相似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，從而得出角的關系，再由∠CAD=∠ACD得到AD=CD，繼而得出BD與AB的關系，即可求的結論．
（2）此題分兩種情況求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：（1）證明：∵∠DAC=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DAC，
∵DE是∠BDC的平分線，
∴∠BDC=2∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC，

（2）解：（I）當△BME∽△CNE時，得∠MBE=∠NCE，
∴BD=DC，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC，
又∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴

BE

BC

=

BD

AB

即BD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=5，
∴AD=5，
（II）當△BME∽△ENC時，得∠EBM=∠CEN，
∴EN∥BD，
∵EN⊥CD，
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜邊上的高，
由三角形面積公式得AB•CD=AC•BC，
∴CD=

24

5

，
∴AD=

AC2-CD2

=

18

5

，
綜上，當AD=5或

18

5

時，△BME與△CNE相似．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和勾股定理，解題時要注意數(shù)形結合思想的應用，要注意不規(guī)則圖形的面積的求解方法．