Question

已知拋物線C₁：y=-2x²-2x+1，拋物線C₂：y=2x²-2x-1，若兩拋物線關(guān)于原點對稱稱為“同胞”拋物線．
（1）試判斷C₁與C₂是否為“同胞”拋物線；
（2）已知拋物線C₁：y=-

1

2

x²-x+

3

2

其頂點為A，拋物線C₂向左平移1個單位后正好與拋物線C₁成“同胞”拋物線，求拋物線C₂的表達式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計算題

分析：（1）設(shè)點（a，b）為拋物線C₁上的點，則根據(jù)二次函數(shù)圖象點的坐標特征得到b=-2a²-2a+1，然后判斷點（-a，-b）是否在拋物線C₂上，若在，則可判斷斷C₁與C₂為“同胞”拋物線；
（2）先把y=-

1

2

x²-x+

3

2

配成頂點式得到頂點A的坐標為（-1，2），再寫出點A關(guān)于原點對稱的點的坐標（1，-2），根據(jù)“同胞”拋物線的定義得到C₁的“同胞”拋物線解析式為y=

1

2

（x+1）²+2，然后根據(jù)拋物線的平移求拋物線C₂的解析式．

解答：解：（1）設(shè)點（a，b）為拋物線C₁上的點，則b=-2a²-2a+1，
當x=-a時，y=2x²-2x-1=2a²+2a-1=-（-2a²-2a+1）=-b，所以點（-a，-b）在拋物線C₂上，
所以C₁與C₂為“同胞”拋物線；
（2）y=-

1

2

x²-x+

3

2

=-

1

2

（x+1）²+2，則頂點A的坐標為（-1，2），
點A關(guān)于原點對稱的點的坐標為（1，-2），
所以C₁的“同胞”拋物線解析式為y=

1

2

（x+1）²+2，
把拋物線y=

1

2

（x+1）²+2向右平移1個單位后得到拋物線C₂，
所以拋物線C₂的解析式為y=

1

2

x²+2．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．