Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（m，0），B（0，n），反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點P（m，n），且m=

n-1

+

1-n

+1．
（1）雙曲線上是否存在兩點C、D，使四邊形ABCD是平行四邊形？若存在，求出C、D兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，若m=3，n=4，過點A作AB的垂線交y軸于E點，取線段AE的中點D，過點B作AB的垂線交DO于F點，則求

1

BF

+

1

AD

的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)二次根式有意義的條件得n=1，則m=1，即有A（1，0），B（0，1），P（1，1），于是可確定反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

；作CE⊥x軸，DE⊥y軸，它們相交于E點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，易證得△CED≌△BOA，得到CE=BO=1，DE=OA=1，設(shè)C（t，

1

t

），則D點坐標(biāo)為（t+1，

1

t

-1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到（t+1）•（

1

t

-1）=1，解得t₁=

-1+ 5

2

，t₂=

-1- 5

2

（舍去），由此可得到C點坐標(biāo)為（

5 -1

2

，

5 +1

2

），D點坐標(biāo)為（

5 +1

2

，

5 -1

2

）；
（2）先證明Rt△AOB∽Rt△EOA，利用相似比可計算出OE=

9

4

，在Rt△AOE中，利用勾股定理計算出AE=

15

4

，則AD=ED=

1

2

AE=

15

8

，再證明△BOF∽△EOD，
利用相似比計算出BF=

10

3

，然后計算

1

BF

+

1

AD

的值．

解答：解：（1）存在．
∵n-1≥0且1-n≥0，
∴n=1，
∴m=1，
∴A（1，0），B（0，1），P（1，1），
∴k=1×1=1，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

，
作CE⊥x軸，DE⊥y軸，它們相交于E點，如圖，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△CED≌△BOA，
∴CE=BO=1，DE=OA=1，
設(shè)C（t，

1

t

），則D點坐標(biāo)為（t+1，

1

t

-1），
∴（t+1）•（

1

t

-1）=1，
整理得t²+t-1=0，解得t₁=

-1+ 5

2

，t₂=

-1- 5

2

（舍去），
∴C點坐標(biāo)為（

5 -1

2

，

5 +1

2

），D點坐標(biāo)為（

5 +1

2

，

5 -1

2

）；
（2）∵m=3，n=4，
∴OA=3，OB=4，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠OEA，
∴Rt△AOB∽Rt△EOA，
∴OB：OA=OA：OE，即4：3=3：OE，解得OE=

9

4

，
在Rt△AOE中，AE=

OA2+OE2

=

32+( 9 4 )2

=

15

4

，
∵D為AE的中點，
∴AD=ED=

1

2

AE=

15

8

，
∵BF⊥AB，
∴BF∥AE，
∴△BOF∽△EOD，
∴BF：DE=BO：EO，即BF：

15

8

=4：

9

4

，
∴BF=

10

3

，
∴

1

BF

+

1

AD

=

3

10

+

8

15

=

5

6

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和平行四邊形的性質(zhì)；熟練運用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算．