Question

15．如圖，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且BE：ED=1：3，AB=6cm，則AC的長(zhǎng)度是多少？

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)和已知條件可證明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等解答即可．

解答 解：設(shè)BE=x，則ED=3x，
∵AE⊥BD于點(diǎn)E，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∵∠AEB=∠AED，
∴△ABE∽△DBA，
∴BE：AB=AB：BD，
∴AB²=BE×BD，
即36=x（x+3x），
解得x=3，
∴BD=3×（1+3）=12，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．