Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3

2

，點(diǎn)D為BA延長線上的一點(diǎn)，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．
（1）求BC的長；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出AE的長，進(jìn)而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=

AE

EC

，求出EC的長即可；
（2）首先得出AC的長，再利用圓周角定理得出∠D=∠M=60°，進(jìn)而求出AM的長，即可得出答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，∵sinB=

AE

AB

，
∴AE=ABsinB=3

2

sin45°=3

2

×

2

2

=3，
∵∠B=45°，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AE=3，
在Rt△ACE中，
∵tan∠ACB=

AE

EC

，
∴EC=

AE

tan∠ACB

=

3

tan60°

=

3

3

=

3

，
∴BC=BE+EC=3+

3

；

（2）連接AO并延長到⊙O上一點(diǎn)M，連接CM，
由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=

3

，
∴AC=2

3

，
∵∠D=∠M=60°，
∴sin60°=

AC

AM

=

2 3

AM

=

3

2

，
解得：AM=4，
∴⊙O的半徑為2．

點(diǎn)評：此題主要考查了解直角三角形以及銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用，根據(jù)題意正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．