Question

5．已知函數(shù)y=（x²-1）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
（1）問這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸共有幾個(gè)交點(diǎn)？寫出它們的坐標(biāo)，并求出a，b的值．
（2）求這個(gè)函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）令y=0代入函數(shù)解析式中，可得出函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)：（-1，0）和（1，0），由于圖象關(guān)于x=2對稱，所以可以求出（-1，0）與（1，0）的對稱點(diǎn)為（3，0）和（5，0），利用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系即可求出a與b的值；
（2）先將函數(shù)化為y=（x+1）（x-1）（x-3）（x-5）=（x²-4x+3）（x²-4x-5），利用換元法，令t=x²-4x+3，所以原函數(shù)化為y=t（t-8）=（t-4）²-16，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出y的最小值．

解答 解：（1）令y=0代入y=（x+1）（x-1）（x²+ax+b），
∴x=-1，x=1，
∴（-1，0），（1，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，
∵圖象關(guān)于x=2對稱，
∴（-1，0）關(guān)于x=2的對稱點(diǎn)是（5，0），
（1，0）關(guān)于x=2的對稱點(diǎn)是（3，0），
∴（3，0）與（5，0）也是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸共有4個(gè)交點(diǎn)，
∴x=3和x=5是（x+1）（x-1）（x²+ax+b）=0的解，
即x=3和x=5時(shí)（x²+ax+b）=0的解，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可知：3+5=-a，3×5=b
∴a=-8，b=15；
（2）由（1）可知y=（x+1）（x-1）（x-3）（x-5）=（x-1）（x-3）（x+1）（x-5）=（x²-4x+3）（x²-4x-5），
設(shè)t=x²-4x+3，
∴t=（x-2）²-1＞-1，
∴x²-4x+5=t-8，
∴y=t（t-8）=（t-4）²-16，
∴當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)的最小值為-16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，換元法等知識(shí)，題目較為綜合．