Question

9．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=$\frac{1}{4}$CD，下列結(jié)論：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③△ABE∽△ECF；④△ADF∽△ECF．其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到BE=$\frac{1}{2}$AB，由三角函數(shù)的定義得到tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，于是得到∠BAE≠30°；故①錯誤；根據(jù)已知條件得到$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，且∠B=∠C，得到△ABE∽△ECF，③正確；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEF=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{EC}$=2，推出△ABE∽△AEF，②正確；由于$\frac{DA}{CE}$=2，$\frac{DF}{CF}$=3，得到$\frac{AD}{CE}$≠$\frac{DF}{CF}$，于是得到△ADF和△ECF不相似，④錯誤．

解答 解：在正方形ABCD中，
∵AB=BC，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAE≠30°；故①錯誤；
∵E為BC中點(diǎn)，CF：CD=1：4，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BE}{CF}$=2，且∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴③正確；
∴∠BAE=∠FEC，且∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠AFB+∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∵△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{EC}$=2，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{BE}{EF}$，且∠ABE=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
∴②正確；
∵$\frac{DA}{CE}$=2，$\frac{DF}{CF}$=3，
∴$\frac{AD}{CE}$≠$\frac{DF}{CF}$，
∴△ADF和△ECF不相似，
∴④錯誤，
綜上可知正確的為：②③，
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意正方形性質(zhì)的運(yùn)用．