Question

19．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx與直線y=2x交于點(diǎn)O（0，0），A（a，16），點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C，E．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若OC=$\frac{3}{5}$AC，求BC的長；
（3）以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），直接寫出m，n之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，繼而將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）根據(jù)OC=$\frac{3}{5}$AC以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，繼而可求出BC的長度；
（3）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出m，n之間的關(guān)系式．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（a，16）在直線y=2x上，
∴16=2a，
解得：a=8，
∴A（8，16）．
又∵點(diǎn)A是拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx上的一點(diǎn)，
∴16=$\frac{1}{2}$×8²+8b，
解得b=-2，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x；

（2）∵OC=$\frac{3}{5}$AC，A（8，16），
∴C（3，6），
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是6，
∴$\frac{1}{2}$x²-2x=6，解得x₁=6，x₂=-2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，6），
∴BC=6-3=3；

（3）∵直線OA的解析式為：y=2x，
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$n，n），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2m），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$n，2m），
把點(diǎn)B（$\frac{1}{2}$n，2m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-2x，可得2m=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$n）²-2×$\frac{1}{2}$n，
∴m、n之間的關(guān)系式為m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{2}$n．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解答本題需要同學(xué)們能理解矩形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．