Question

11．如圖，在?ABCD中，∠ABC與∠BAD的平分線交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在CD邊上．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）若AD=10，AP=16，求△ABP的周長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，AB=CD，得出∠ABC+∠BAD=180°，由角平分線得出∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAD，即可得出結(jié)果；
（2）證出∠BPC=∠CBP，得出PC=BC=AD=10，同理：PD=AD=10，因此AB=CD=20，由勾股定理求出BP，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC與∠BAD的平分線交于點(diǎn)P，
∴∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠ABP+∠BAP=$\frac{1}{2}$×180°=90°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠BPC，
∵∠ABP=∠CBP，
∴∠BPC=∠CBP，
∴PC=BC=AD=10，
同理：PD=AD=10，
∴AB=CD=20，
∵∠APB=90°，AP=16，
∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
∴△ABP的周長=AB+AP+BP=20+16+12=48．

點(diǎn)評 此題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明等腰三角形是解決問題（2）的關(guān)鍵．