Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD=2$\sqrt{5}$，AB⊥CD于E點(diǎn)，延長AB到F，使得BF=$\frac{1}{2}$OB，連接CF，若CF是⊙O的切線．求：⊙O的半徑．

Answer 1

分析 首先證得△COF∽△EOC，再由BF=$\frac{1}{2}$OB，得出OE與OC的比，進(jìn)一步求得CE，在直角三角形OEC中利用勾股定理求得答案即可．

解答 解：∵CF是⊙O的切線
∴∠OCF=90°，
∴∠OCF=∠OEC，
∵∠COF=∠EOC
∴△COF∽△EOC，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}$
∵$BF=\frac{1}{2}OB$，
∴$\frac{OB}{OF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}=\frac{2}{3}$，
∵AB⊥CD于E，
∴$CE=DE=\frac{1}{2}CD=\sqrt{5}$，
設(shè)OE=2x，則OC=3x．
∵OC²=OE²+CE²，
∴${（3x）^2}={（2x）^2}+{（\sqrt{5}）^2}$，
∴⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評 此題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，垂徑定理，注意結(jié)合圖形，靈活利用數(shù)據(jù)解決問題．