Question

如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，點M是AD的中點，點P由點A出發(fā)，沿A→B→C→D作勻速運動，到達點D停止，則△APM的面積y與點P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：動點問題的函數(shù)圖象

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：分類討論：當(dāng)0≤x≤2，如圖1，作PH⊥AD于H，AP=x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠A=60°，AM=1，則∠APH=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到在RtAH=

1

2

x，PH=

3

2

x，然后根據(jù)三角形面積公式得y=

1

2

AM•PH=

3

2

x；當(dāng)2＜x≤4，如圖2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠A=60°，AM=2，AB=2，BC∥AD，則∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AE=1，PH=

3

，然后根據(jù)三角形面積公式得y=

1

2

AM•BE=

3

；
當(dāng)4＜x≤6，如圖3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，則PD=6-x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠ADC=120°，則∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DF=

1

2

（6-x），PF=

3

DF=

3

2

（6-x），則利用三角形面積公式得y=

1

2

AM•PF=-

3

2

x+3

3

，最后根據(jù)三個解析式和對應(yīng)的取值范圍對各選項進行判斷．

解答：解：當(dāng)點P在AB上運動時，即0≤x≤2，如圖1，
作PH⊥AD于H，AP=x，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，點M是AD的中點，
∴∠A=60°，AM=1，
∴∠APH=30°，
在Rt△APH中，AH=

1

2

AP=

1

2

x，
PH=

3

AH=

3

2

x，
∴y=

1

2

AM•PH=

1

2

•2•

3

2

x=

3

2

x；
當(dāng)點P在BC上運動時，即2＜x≤4，如圖2，
作BE⊥AD于E，AP+BP=x，
∵四邊形ABCD為菱形，∠B=120°，
∴∠A=60°，AM=2，AB=2，BC∥AD，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，AE=

1

2

AB=1，
PH=

3

AE=

3

，
∴y=

1

2

AM•BE=

1

2

•2•

3

=

3

；
當(dāng)點P在CD上運動時，即4＜x≤6，如圖3，
作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，則PD=6-x，
∵菱形ABCD中，∠B=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DPF=30°，
在Rt△DPF中，DF=

1

2

DP=

1

2

（6-x），
PF=

3

DF=

3

2

（6-x），
∴y=

1

2

AM•PF=

1

2

•2•

3

2

（6-x）=

3

2

（6-x）=-

3

2

x+3

3

，
∴△APM的面積y與點P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為三段：當(dāng)0≤x≤2，圖象為線段，滿足解析式y(tǒng)=

3

2

x；當(dāng)2≤x≤4，圖象為平行于x軸的線段，且到x軸的距離為

3

；當(dāng)4≤x≤6，圖象為線段，且滿足解析式y(tǒng)=-

3

2

x+3

3

．
故選A．

點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：利用點運動的幾何性質(zhì)列出有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式畫出函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．