Question

16．如圖，已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．
（1）用尺規(guī)作∠A的平分線AD．
（2）角平分線AD交BC于點(diǎn)D，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）利用基本作作（作已知角的平分線）作AD平分∠BAC；
（2）作DE⊥AC于E，如圖，先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠C=45°，則可判斷△CDE為等腰直角三角形，則CD=$\sqrt{2}$DE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BD=BE，設(shè)BD=x，則CD=$\sqrt{2}$x，然后利用BC=2列方程x+$\sqrt{2}$x=2，再解方程即可．

解答 解：（1）如圖，AD為所求；

（2）作DE⊥AC于E，如圖，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2．
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DE，
∵AD為角平分線，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴BD=BE，
設(shè)BD=x，則CD=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=2，
∴x=2（$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$-2，
即BD的長為2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了基本作圖：熟練掌握5個基本作圖．掌握角平分線的性質(zhì)定理和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解決（2）小題的關(guān)鍵．