Question

如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條直線l₁、l₂分別與雙曲線y=

k

x

（k≠0）相交于A、B、P、Q四點(diǎn)，其中A、P兩點(diǎn)在第一象限，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．
（1）求k值及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，3），求a值及四邊形APBQ的面積；
（3）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），且∠APB=90°，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)分別蓮花山圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k=3×1=3，再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a=1，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），再根據(jù)正比例函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-3），由于OA=OB，OP=OQ，則根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形APBQ為平行四邊形，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判斷四邊形APBQ為矩形，再計(jì)算出PA和PB，然后計(jì)算矩形APBQ的面積；
（3）前面已經(jīng)證明四邊形APBQ為平行四邊形，加上∠APB=90°，則可判斷四邊形APBQ為矩形，則OP=OA，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到m²+n²=10，且mn=3，則利用完全平方公式得到（m+n）²-2mn=10，可得到m+n=4，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可把m、n看作方程x²-4x+3=0的兩根，然后解方程可得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（3，1）代入y=

k

x

得k=3×1=3，
∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l₁與雙曲線y=

k

x

（k≠0）相交于A、B、
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
（2）把P（a，3）代入y=

3

x

得3a=3，解得a=1，
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l₂與雙曲線y=

k

x

（k≠0）相交于P、Q點(diǎn)，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PA²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四邊形APBQ為矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3-1）²+（1-3）²=8，
∴PB=4

2

，PQ=2

2

，
∴四邊形APBQ的面積=PA•PB=2

2

•4

2

=16；
（3）∵四邊形APBQ為平行四邊形，
而∠APB=90°，
∴四邊形APBQ為矩形，
∴OP=OA，
∴m²+n²=3²+1²=10，
而mn=3，
∵（m+n）²-2mn=10，
∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=-4（舍去），
把m、n看作方程x²-4x+3=0的兩根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．