Question

10．如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B₂D₁C₁面積為S₁，△B₃D₂C₂面積為S₂，…，△B_n+1D_nC_n面積為S_n，則S₂₀₁₃等于（　�。�

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2013\sqrt{3}}{2014}$
• D． $\frac{2014\sqrt{3}}{2015}$

Answer 1

分析 注意到B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃∥…∥B_n+1C_n+1，因此有△AD₁C₁∽△AB₂C₂，△AD₂C₂∽△AB₃C₃，△AD₃C₃∽△AB₄C₄…，這一系列的相似三角形的相似比是明顯可求的，所以面積比也就可以知道了．以△AD₁C₁∽△AB₂C₂為例，△AB₂C₂的底為等邊三角形邊長的兩倍，高與等邊三角形的高相等，那么△AB₂C₂的面積就是等邊三角形面的兩倍，由于相似比為1：2，所以它們的面積比為1：4，從而可以求出△AD₁C₁的面積，△AB₂C₂的面積減去△AD₁C₁的面積和一個等邊三角形的面積即是△B₂D₁C₁的面積，后面的類推．

解答 解：∵等邊三角形的邊長為2，
∴等邊三角形的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
∵△AD₂₀₁₃C₂₀₁₃∽△AB₂₀₁₄C₂₀₁₄，且$\frac{A{C}_{2013}}{A{C}_{2014}}=\frac{2013}{2014}$，
∴$\frac{{S}_{△A{D}_{2013}{C}_{2013}}}{{{S}_{△A{B}_{2014}C}}_{2014}}$=${（\frac{2013}{2014}）}^{2}$，
∵${{S}_{△A{B}_{2014}C}}_{2014}$=2014$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△A{D}_{2013}{C}_{2013}}$=${（\frac{2013}{2014}）}^{2}×2014\sqrt{3}$=$\frac{201{3}^{2}\sqrt{3}}{2014}$，
∴${S}_{2013}=2014\sqrt{3}-\frac{201{3}^{2}\sqrt{3}}{2014}-\sqrt{3}$=$\frac{201{4}^{2}-201{3}^{2}-2014}{2014}\sqrt{3}$=$\frac{2013\sqrt{3}}{2014}$，
故選C．

點評 本題以圖形迭代的形式考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．由圖中等邊三角形的性質(zhì)得出三角形相似，且知道相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)鍵所在．