Question

15．由特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到的思想方法．下面是對(duì)一道幾何題進(jìn)行變式探究的思路，請(qǐng)你運(yùn)用上述思想方法完成探究任務(wù)．
問(wèn)題情境：在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，E為邊BC上一點(diǎn)，連接AE．以E為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角與∠B相等，得到線段EF，連接CF．
（1）特例分析：如圖1，若四邊形ABCD是四邊形，求證：AC⊥CF；
（2）拓展分析一：如圖2，若四邊形ABCD是菱形，探究下列問(wèn)題：
①當(dāng)∠B=50°時(shí)，求∠ACF的度數(shù)；
②針對(duì)圖2的條件，寫出一般的結(jié)論（不必證明）；
（3）拓展探究二：如圖3，若四邊形ABCD是矩形，且BC=k•AB（k＞1）．若前提條件不變，“特例分析”中得到的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，修改題中的條件使結(jié)論成立（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作EH∥AC交AB于H．只要證明△HAE≌△CEF，即可推出∠AHE=∠ECF=135°，由∠BCA=45°，推出∠ACF=90°；
（2）①如圖2中，作EH∥AC交AB于H．只要證明△HAE≌△CEF，即可解決問(wèn)題．②∠ACF=∠B；
（3）結(jié)論：當(dāng)EF=k•AE時(shí)，CF⊥AE．如圖3中，作EH∥AC交AB于H，AC與EF交于點(diǎn)O．只要證明△HAE∽△CEF，推出∠HEA=∠F，由∠HEA=∠CAE，推出∠CAE=∠F，由∠AOE=∠FOC，∠EAO+∠AOE=90°，推出∠FOC+∠F=90°，即可得到∠OCF=90°；

解答 （1）證明：如圖1中，作EH∥AC交AB于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=45°，
∵EH∥AC，
∴∠BHE=∠BAC=45°，∠BEH=∠BCA=45°，
∴∠BHE=∠BEH=45°，∠AHE=135°，
∴BH=BE，
∴AH=CE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF=∠B=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠HAE=∠CEF}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△CEF，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
∵∠BCA=45°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥CF．
（2）解：①如圖2中，作EH∥AC交AB于H．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，
∵EH∥AC，
∴∠BHE=∠BAC，∠BEH=∠BCA，
∴∠BHE=∠BEH，
∴BH=BE，
∴AH=CE，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF=∠B，
∴∠HAE=∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{∠HAE=∠CEF}\\{AH=CE}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△CEF，
∴∠AHE=∠ECF，
∵∠B=50°，
∴∠BHE=∠ACB=65°，
∴∠AHE=∠ECF=115°
∴∠ACF=115°-65°=50°．

②結(jié)論：∠ACF=∠B．（證明方法類似①）

（3）解：結(jié)論：當(dāng)EF=k•AE時(shí)，CF⊥AE．理由如下：
如圖3中，作EH∥AC交AB于H，AC與EF交于點(diǎn)O．

∵EH∥AC，
∴$\frac{AH}{AB}$=$\frac{EC}{CB}$，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{K}$，
∵EF=k•AE，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{1}{k}$，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF=∠B=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
∴△HAE∽△CEF，
∴∠HEA=∠F，
∵∠HEA=∠CAE，
∴∠CAE=∠F，
∵∠AOE=∠FOC，∠EAO+∠AOE=90°，
∴∠FOC+∠F=90°，
∴∠OCF=90°，
∴AC⊥CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．