Question

15．如圖，拋物線y=ax²-$\frac{1}{3}$x+8的對(duì)稱軸為x=-$\frac{4}{5}$，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b與x、y軸分別相交于點(diǎn)A（4，0）、B點(diǎn)．點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與直線和拋物線的交點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PC⊥AB交AB于點(diǎn)C，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)△PCE的周長(zhǎng)為l，求l關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)點(diǎn)P、E、C作平行四邊形PEFC，直接寫(xiě)出平行四邊形PEFC的周長(zhǎng)L的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{4}{5}$，由此即可得出關(guān)于a的分式方程，解方程即可求出a值，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出b值；
（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，解方程組即可求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可得出n的取值范圍，再根據(jù)PC⊥AB，PD⊥x軸即可得出△PCE∽△ADE，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{{C}_{△PCE}}{{C}_{△ADE}}$=$\frac{PE}{AE}$，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)P、E、D的坐標(biāo)，由此即可得出AD、DE、AE間的關(guān)系，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求出C_△ADE與AE間的關(guān)系，由此即可得出l關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）PE以及n的取值范圍可求出PE的取值范圍，用PE表示出PC、CE，分三種情況考慮平行四邊形PEFC的周長(zhǎng)L，利用平行四邊形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-$\frac{1}{3}$x+8的對(duì)稱軸為x=-$\frac{4}{5}$，
∴-$\frac{-\frac{1}{3}}{2a}$=-$\frac{4}{5}$，解得：a=-$\frac{5}{24}$．
∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），
∴0=-$\frac{3}{4}$×4+b，解得：b=3．
（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{5}{24}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∵點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與直線和拋物線的交點(diǎn)重合），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，
∴-4＜n＜6，P（n，-$\frac{5}{24}{n}^{2}$-$\frac{1}{3}$n+8），E（n，-$\frac{3}{4}$x+3），D（n，0）．
∵PC⊥AB，PD⊥x軸，
∴∠PCE=∠ADE=90°，
∵∠PEC=∠AED，
∴△PCE∽△ADE，
∴$\frac{{C}_{△PCE}}{{C}_{△ADE}}$=$\frac{PE}{AE}$．
∵P（n，-$\frac{5}{24}{n}^{2}$-$\frac{1}{3}$n+8），E（n，-$\frac{3}{4}$n+3），D（n，0），A（4，0），
∴AD=|4-n|，DE=|-$\frac{3}{4}$n+3|=$\frac{3}{4}$|4-n|，AE=$\frac{5}{4}$|4-n|，PE=-$\frac{5}{24}{n}^{2}$-$\frac{1}{3}$n+8-（-$\frac{3}{4}$n+3）=-$\frac{5}{24}$n²+$\frac{5}{12}$n+5．
∵C_△ADE=AD+DE+AE=3|4-n|=$\frac{12}{5}$AE，
∴l(xiāng)=C_△PCE=$\frac{12}{5}$PE=-$\frac{1}{2}$n²+n+12（-4＜n＜6）．
（3）∵$\frac{PC}{AD}=\frac{CE}{DE}=\frac{PE}{AE}$，
∴PC=$\frac{4}{5}$PE，CE=$\frac{3}{5}$PE．
∵PE=-$\frac{5}{24}$n²+$\frac{5}{12}$n+5=-$\frac{5}{24}$（n-1）²+$\frac{125}{24}$，-4＜n＜6，
∴0＜PE≤$\frac{125}{24}$．
過(guò)點(diǎn)P、E、C作平行四邊形PEFC分三種情況：
①以PC、CE為邊作平行四邊形，
此時(shí)L=2（PC+CE）=$\frac{16}{5}$PE，
∴0＜L≤$\frac{50}{3}$；
②以PC、PE為邊作平行四邊形，
此時(shí)L=2（PC+PE）=$\frac{18}{5}$PE，
∴0＜L≤$\frac{75}{4}$；
③以PE、CE為邊作平行四邊形．
此時(shí)L=2（PE+CE）=$\frac{16}{5}$PE，
∴0＜L≤$\frac{50}{3}$．
綜上得：平行四邊形PEFC的周長(zhǎng)L的取值范圍為0＜L≤$\frac{50}{3}$或0＜L≤$\frac{75}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的值，利用待定系數(shù)法求出b的值；（2）利用相似三角形的性質(zhì)找出l=$\frac{12}{5}$PE；（3）分三種情況用PE表示出L．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出兩三角形的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊比是關(guān)鍵．