Question

8．能被3整除的整數(shù)具有一些特殊的性質(zhì)：
（1）定義一種能夠被3整除的三位數(shù)$\overline{abc}$的“F”運(yùn)算：把$\overline{abc}$的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個(gè)新數(shù)．例如$\overline{abc}$=213時(shí)，則：213$\stackrel{F}{→}$36（2³+1³+3³=36）$\stackrel{F}{→}$243（3³+6³=243）．?dāng)?shù)字111經(jīng)過(guò)三次“F”運(yùn)算得351，經(jīng)過(guò)四次“F”運(yùn)算得153，經(jīng)過(guò)五次“F”運(yùn)算得153，經(jīng)過(guò)2016次“F”運(yùn)算得153．
（2）對(duì)于一個(gè)整數(shù)，如果它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和可以被3整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能夠被3整除，例如，一個(gè)四位數(shù)，千位上的數(shù)字是a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字為c，個(gè)為上的數(shù)字為d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個(gè)四位數(shù)就可以被3整除．你會(huì)證明這個(gè)結(jié)論嗎？寫(xiě)出你的論證過(guò)程（以這個(gè)四位數(shù)為例即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“F運(yùn)算”的定義得到111經(jīng)過(guò)三次“F運(yùn)算”的結(jié)果，經(jīng)過(guò)四次“F運(yùn)算”的結(jié)果，經(jīng)過(guò)五次“F運(yùn)算”的結(jié)果，經(jīng)過(guò)2016次“F運(yùn)算”的結(jié)果即可；
（2）首先根據(jù)題意可設(shè)a+b+c+d=3e，則此四位數(shù)1000a+100b+10c+d可表示為999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得這個(gè)四位數(shù)就可以被3整除．

解答 （1）解：111$\stackrel{F}{→}$3（1³+1³+1³=3）$\stackrel{F}{→}$27（3³=27）$\stackrel{F}{→}$351（2³+7³=351）$\stackrel{F}{→}$153（3³+5³+1³=153）$\stackrel{F}{→}$153（1³+5³+3³=153）$\stackrel{F}{→}$153（3³+5³+1³=153）．
故數(shù)字111經(jīng)過(guò)三次“F”運(yùn)算得351，經(jīng)過(guò)四次“F”運(yùn)算得153，經(jīng)過(guò)五次“F”運(yùn)算得 153，經(jīng)過(guò)2016次“F”運(yùn)算得 153．
（2）證明：設(shè)a+b+c+d=3e（e為整數(shù)），
這個(gè)四位數(shù)可以寫(xiě)為：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，
∴$\frac{1000a+100b+10c+d}{3}$=333a+33b+3c+e，
∵333a+33b+3c+e是整數(shù)，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．
故答案為：351，153，153，153．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法．同時(shí)考查了數(shù)的整除性問(wèn)題．注意四位數(shù)的表示方法與整體思想的應(yīng)用．