Question

1．【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DE∥BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明．
【應(yīng)用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：AC=BD．（只添加一個(gè)條件）
（2）如圖③，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若AO=OC，四邊形ABCD面積為5，則陰影部分圖形的面積和為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 【探究】利用三角形的中位線定理可得出HG=EF、EF∥GH，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；
【應(yīng)用】（1）同【探究】的方法判斷出EF=$\frac{1}{2}$AC，即可判斷出EF=FG，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出S_△BCD=4S_△CFG，同理：S_△ABD=4S_△AEH，進(jìn)而得出S_{四邊形EFGH}=$\frac{5}{2}$，再判斷出OM=ON，進(jìn)而得出S_陰影=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFGH}即可．

解答 解：【探究】平行四邊形．
理由：如圖1，連接AC，
∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
綜上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四邊形EFGH是平行四邊形．
【應(yīng)用】（1）添加AC=BD，
理由：連接AC，BD，同（1）知，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同【探究】的方法得，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴EF=FG，
∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴?EFGH是菱形；
故答案為AC=BD；
（2）如圖2，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，
∵F，G是BC，CD的中點(diǎn)，
∴FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴△CFG∽△CBD，
∴$\frac{{S}_{△CFG}}{{S}_{△BCD}}=\frac{1}{4}$，
∴S_△BCD=4S_△CFG，
同理：S_△ABD=4S_△AEH，
∵四邊形ABCD面積為5，
∴S_△BCD+S_△ABD=5，
∴S_△CFG+S_△AEH=$\frac{5}{4}$，
同理：S_△DHG+S_△BEF=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四邊形EFGH}=S_{四邊形ABCD}-（S_△CFG+S_△AEH+S_△DHG+S_△BEF）=5-$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$，
設(shè)AC與FG，EH相交于M，N，EF與BD相交于P，
∵FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BD，
∴CM=OM=$\frac{1}{2}$OC，
同理：AN=ON=$\frac{1}{2}$OA，
∵OA=OC，
∴OM=ON，
易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是平行四邊形，
∴S_陰影=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFGH}=$\frac{5}{4}$，
故答案為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解【探究】的關(guān)鍵是判斷出HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，解【應(yīng)用】的關(guān)鍵是判斷出S_{四邊形EFGH}=$\frac{5}{2}$，是一道基礎(chǔ)題目．