Question

7．如圖，面積為6的平行四邊形紙片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步驟裁剪和拼圖．

第一步：如圖①，將平行四邊形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，得到△ABD和△BCD紙片，再將△ABD紙片沿AE剪開(kāi)（E為BD上任意一點(diǎn)），得到△ABE和△ADE紙片；
第二步：如圖②，將△ABE紙片平移至△DCF處，將△ADE紙片平移至△BCG處；
第三步：如圖③，將△DCF紙片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)使其背面朝上置于△PQM處（邊PQ與DC重合，△PQM和△DCF在DC同側(cè)），將△BCG紙片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)使其背面朝上置于△PRN處，（邊PR與BC重合，△PRN和△BCG在BC同側(cè)）．
則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，BD=$\sqrt{5}$，對(duì)角線MN長(zhǎng)度的最小值為$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平移和翻折的性質(zhì)得到△MPN是等腰直角三角形，于是得到當(dāng)PM最小時(shí)，對(duì)角線MN最小，即AE取最小值，當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AE取最小值，過(guò)D作DF⊥AB于F，根據(jù)平行四邊形的面積得到DF=2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AF=DF=2，由勾股定理得到BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根據(jù)三角形的面積得到AE=$\frac{DF•AB}{BD}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，
∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，
∵△ADE≌△BCG≌△PNR，
∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，
∴PM=PN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
當(dāng)PM最小時(shí)，對(duì)角線MN最小，即AE取最小值，
∴當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AE取最小值，
過(guò)D作DF⊥AB于F，
∵平行四邊形ABCD的面積為6，AB=3，
∴DF=2，
∵∠DAB=45°，
∴AF=DF=2，
∴BF=1，
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AE=$\frac{DF•AB}{BD}$=$\frac{2×3}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴MN=$\sqrt{2}$AE=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$，$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平移的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．