Question

8．觀察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
（1）根據(jù)以上規(guī)律，則（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1．
（2）你能否由此歸納出一般性規(guī)律：
（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ-1．
（3）根據(jù)上述的規(guī)律，求1+2+2²+…+2³⁸+2³⁹的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)規(guī)律可得出（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）結(jié)果；
（2）由規(guī)律得出x的指數(shù)為n+1，即可得出答案；
（3）1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的可以寫成（2-1）（2⁰+2¹+2²++…+2³⁴+2³⁹），根據(jù)規(guī)律計算即可．

解答 解：（1）由規(guī)律得：（x-1）（x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁸-1；
故答案為x⁸-1；

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ-1；
故答案為xⁿ-1．

（3）1+2+2²+…+2³⁴+2³⁹=（2-1）（2⁰+2¹+2²++…+2³⁴+2³⁹）
=2⁴⁰-1，

點評 本題考查了平方差公式，明確最后結(jié)果的最高指數(shù)比第二個括號中的最高指數(shù)多1，是解題的關鍵．