Question

已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經(jīng)過點O，且與x，y軸分交于點A，C，點A的坐標為（-

3

，0），AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D，則過D點的反比例函數(shù)的表達式為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：在直角△ACO中，根據(jù)已知條件可以求得OA，AC的長，再根據(jù)勾股定理求得OC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求得∠CAO的度數(shù)；要求反比例函數(shù)的表達式，需要求得點D的坐標．作DE⊥x軸于點E，根據(jù)對頂角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的長，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以求得∠ADO=30°．則OD=OA．從而求得OE，DE的長，再根據(jù)點D的坐標求得反比例函數(shù)的表達式．

解答：解：如圖，連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E．
∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直徑．
∴AC=2．
又∵點A的坐標為（-

3

，0），
∴OA=

3

．
∴OC=

AC2-OA2

=1．
∴sin∠CAO=

OC

OA

=

1

2

．
∴∠CAO=30°
∵OD為⊙B的切線，
∴OB⊥OD．
∴∠BOD=90°．
∵AB=OB，
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD．
∴OD=OA=

3

．
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=

1

2

OD=

3

2

，ED=OD•sin60°=

3

2

．
∴點D的坐標為（

3

2

，

3

2

）．
設(shè)過D點的反比例函數(shù)的表達式為y=

k

x

（k≠0），
∴k=xy=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

．
∴y=

3 3

4x

．
故答案是：y=

3 3

4x

．

點評：此題主要是運用了30度的直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，同學們要重點掌握．