Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1，將其繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，邊A′C與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥A′B′交  C B′，邊于點(diǎn)E，連接BE．
（1）求證：△CAD∽△CBE；
（2）設(shè)AD=x，BE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)S_△BDE′=

1

5

S_△ABC時(shí)，求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例得出

CD

CA′

=

CE

CB′

，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE，由此得出△CAD∽△CBE；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例、直角三角形的性質(zhì)及∠A=30°求得y=

3

3

x（0＜x＜2）；
（3）先根據(jù)三角形的面積公式先求出△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x；當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，AD=x，BD=x-2，再根據(jù)S_△BDE=

1

2

BD×BE，代入相應(yīng)的值求出x的值，即可得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖），
∵DE∥A'B'，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

，
∴

CD

CE

=

CA

CB

，
∴△CAD∽△CBE．

（2）∵△CAD∽△CBE，
∴

BE

AD

=

BC

AC

．
∵∠A=30°，
∴

y

x

=

BC

AC

=

3

3

，
∴y=

3

3

x（0＜x＜2）；

（3）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上，
AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此時(shí)，S=S_△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

（x-2）×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
當(dāng)S=

1

3

S_△ABC時(shí)，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．
當(dāng)90°＜α＜120°時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長線線上（如圖），
設(shè)AD=x，則BD=x-2，∠DBE=90°．
S=S_△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

（x-2）×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
當(dāng)S═

1

3

S_△ABC時(shí)，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得 x₁=1+

2

，x₂=1-

2

（負(fù)值，舍去）．
即AD=1+

2

．
綜上所述：AD=1或AD=1+

2

．

點(diǎn)評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點(diǎn)是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判斷與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的面積公式等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論．