Question

12．如圖，AB是半圓O的直徑，AC⊥AB，CD切半圓于點D，BF⊥AB，交AD的延長線于F，交CD的延長線于E．
（1）若∠C=80°，求∠F的度數(shù)；
（2）求證：BE=EF；
（3）若AC=6，BE=4，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）先證明AC、BF是半圓O的切線，AC∥BF，得出∠F=∠CAD，再由切線長定理得出CA=CD，BE=DE，求出∠CAD=∠CDA，即可求出∠F；
（2）連接BD，求出∠F=∠EDF，DE=EF，再由（1）中BE=DE，即可得出結(jié)論；
（3）作EG⊥AC于G，則四邊形ABEG是矩形，得出AG=BE=4，EG=AB，求出CE、CG，根據(jù)勾股定理求出EG，即可得出AB．

解答 （1）解：∵AB是半圓O的直徑，AC⊥AB，BF⊥AB，
∴AC、BF是半圓O的切線，AC∥BF，
∴∠F=∠CAD，
∵CD切半圓于點D，
∴CA=CD，BE=DE，
∴∠CAD=∠CDA=50°，
∴∠F=50°；
（2）證明：連接BD，如圖所示：
則∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵∠EDF=∠CDA=50°，
∴∠F=∠EDF，
∴DE=EF，
∴BE=EF；
（3）解：作EG⊥AC于G，如圖所示：
則四邊形ABEG是矩形，
∴AG=BE=4，EG=AB，
∵AC=CD=6，DE=BE=4，
∴CE=6+4=10，CG=6-4=2，
∴EG=$\sqrt{1{0}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{6}$，
∴AB=4$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、等腰三角形的判定、勾股定理的運用；熟練掌握切線的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．