Question

1．正方形ABCD，點(diǎn)E在BC邊上．AE⊥EF于E，連接AF．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC中點(diǎn)時(shí)，你還能發(fā)現(xiàn)哪些三角形相似．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，則根據(jù)三角形相似的判定方法可判斷△ABE∽△ECF；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a，則AB=4a，BE=CE=2a，則利用勾股定理可計(jì)算出AB=2$\sqrt{5}$a，再利用相似比計(jì)算出EF=$\sqrt{5}$a，則$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$=2，加上∠ABE=∠AEF，則可判斷△ABE∽△AEF，于是有△ABE∽△AEF∽△ECF．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
而∠AEF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a，則AB=4a，BE=CE=2a，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∵△ABE∽△ECF；
∴AE：EF=AB：EC，即2$\sqrt{5}$a：EF=4a：2a，
∴EF=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{BE}$=2，
而∠ABE=∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，
∴△ABE∽△AEF∽△ECF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．也考查了正方形的性質(zhì)．