Question

17．如果|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，那么函數(shù)y=-x²+x+1的最小值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． -1
• D． $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 因為y=-x²+x+1開口向下，對稱軸x=$\frac{1}{2}$，在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減小，再由|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入兩個最低點，比較得出答案即可．

解答 解：∵y=-x²+x+1的-1＜0，
∴開口向下，對稱軸x=$\frac{1}{2}$，
∵|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴左側(cè)最低點y=-（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+1=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$，
右側(cè)最低點y=-（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∵$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴|x|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，那么函數(shù)y=-x²+x+1的最小值是$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 此題考查二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對稱軸是解決問題的關(guān)鍵．