Question

15．如圖，直線y=ax+1（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第四象限的交點(diǎn)為C．若點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且△BOC的面積為2．
（1）求a、k的值；
（2）問：在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱得出AB=AC，根據(jù)△BOC的面積為2求出OA的長，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可得出k的值；
（2）存在，分兩種情況考慮：以O(shè)為圓心OA長為半徑畫弧，與x軸交于點(diǎn)P₁，P₂；以A為圓心，AO長為半徑畫弧，與x軸交于P₃、P₄點(diǎn)；分別求出坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=ax+1=1，
∴B（0，1）．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，
∴AB=AC．
∵△BOC的面積為2，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$S_△BOC，即$\frac{1}{2}$×1×OA=1，解得OA=2，
∴A（2，0）．
把A（2，0）代入直線y=ax+1得，2a+1=0，解得a=-$\frac{1}{2}$．
∵A（2，0），
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1，
∴C（4，-1），
∴-1=$\frac{4}{x}$，解得k=-4．

（2）存在．
理由：∵B（0，1），C（4，-1），
∴BC=$\sqrt{（0-4）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$．
①以B為圓心BC長為半徑畫弧，與x軸交于點(diǎn)P₁，P₂，
∴OP₁=OP₂=$\sqrt{{BP}^{2}-{OB}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{5}）}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{19}$，
∴P₁（-$\sqrt{19}$，0），P₂（$\sqrt{19}$，0）；
以C為圓心，BC長為半徑畫弧，與x軸交于P₃、P₄，
此時(shí)P₃（4-$\sqrt{19}$，0），P₄（4+$\sqrt{19}$，0）；
綜上，滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（-$\sqrt{19}$，0），P₂（$\sqrt{19}$，0），P₃（4-$\sqrt{19}$，0），P₄（4+$\sqrt{19}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法，等腰三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．．