Question

4．已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，DC∥AB，連接AD交BC于E，點F在AB延長線上，且∠ADF=∠ACB．
（1）當(dāng)E為BC邊中點時，如圖1，求證：CD=CE+BF；
（2）如圖2，當(dāng)E為BC延長線上一點時，CD、CE、BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明．

Answer 1

分析 （1）過B作BM垂直于CD，首先證明四邊形BMDF為矩形，再在RT△BMC中，利用30度角性質(zhì)即可解決問題．
（2）結(jié)論CE=CD+BF，由△OBF∽△ACE得$\frac{CE}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$，由CD∥AB得$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CO}{OB}$，所以$\frac{CE}{BF}$-$\frac{CD}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$-$\frac{CO}{OB}$，因為AC=BC，所以$\frac{CE-CD}{BF}$=$\frac{BC-CO}{OB}$=1，由此即可證明．

解答 解：（1）在圖1中，過B作BM⊥CD，交CD于M，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ADF=∠ACB=60°，
∵E是BC中點，
∴AD⊥BC，AE為角平分線，
∴∠BAE=30°，
∴在△AFD中，∠AFD=90°，
∵CD∥AF，
∴∠FDM=∠AFD=∠BMD=90°，
∴四邊形BMDF為矩形，
∴BF=DM，
在Rt△BMC中，∠BMC=90°，∠MBC=30°，E是BC中點，
∴MC=$\frac{1}{2}$BC=CE，
則CD=DM+CM=BF+CE；
（2）結(jié)論CE=CD+BF，理由如下，
在圖2中，設(shè)BE與DF交于O點，
∵∠OBF=∠ODE=120°，∠BOF=∠DOE，
∴△BOF∽△DOE，
∴∠F=∠E，
∵∠OBF=∠ACE=120°，
∴△OBF∽△ACE，
∴$\frac{CE}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$，
∵CD∥AB
∴$\frac{CD}{BF}$=$\frac{CO}{OB}$，
∴$\frac{CE}{BF}$-$\frac{CD}{BF}$=$\frac{AC}{OB}$-$\frac{CO}{OB}$，
∵AC=BC，
∴$\frac{CE-CD}{BF}$=$\frac{BC-CO}{OB}$=1，
則CE=CD+BF．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，第二個問題的證明有點難度，利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．