Question

19．如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標(biāo)及△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由點A在一次函數(shù)圖象上，結(jié)合一次函數(shù)解析式可求出點A的坐標(biāo)，再由點A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點B坐標(biāo)；
（2）作點B作關(guān)于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，連接PB．由點B、D的對稱性結(jié)合點B的坐標(biāo)找出點D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，結(jié)合點A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，令直線AD的解析式中y=0求出點P的坐標(biāo)，再通過分割圖形結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把點A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，
得：a=-1+4，解得：a=3，
∴點A的坐標(biāo)為（1，3）．
把點A（1，3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
得：3=k，
∴反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$，
聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點B的坐標(biāo)為（3，1）．
（2）作點B作關(guān)于x軸的對稱點D，交x軸于點C，連接AD，交x軸于點P，此時PA+PB的值最小，連接PB，如圖所示．

∵點B、D關(guān)于x軸對稱，點B的坐標(biāo)為（3，1），
∴點D的坐標(biāo)為（3，-1）．
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
把A，D兩點代入得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-2x+5．
令y=-2x+5中y=0，則-2x+5=0，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，0）．
S_△PAB=S_△ABD-S_△PBD=$\frac{1}{2}$BD•（x_B-x_A）-$\frac{1}{2}$BD•（x_B-x_P）=$\frac{1}{2}$×[1-（-1）]×（3-1）-$\frac{1}{2}$×[1-（-1）]×（3-$\frac{5}{2}$）=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及軸對稱中的最短線路問題，解題的關(guān)鍵是：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組求出交點坐標(biāo)；（2）找出點P的位置．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，聯(lián)立解析式成方程組，解方程組求出交點坐標(biāo)是關(guān)鍵．