Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程：x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．求k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值．

解答：解：分兩種情況：
①當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b²-4ac=0，
∴（2k+1）²-4k（k+1）=0
解得k不存在；
②當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，

5+AC=2k+1 5AC=k(k+1)

解得

k=4 AC=4

或

k=5 AC=6

，
則△ABC的周長(zhǎng)為：5+5+4=14或5+5+6=16．
綜上所述，當(dāng)k=4或5時(shí)，△ABC是等腰三角形．其相應(yīng)的△ABC的周長(zhǎng)是14或16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的方法，以及實(shí)際應(yīng)用，注意分論討論思想．