Question

正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E、F分別為DA、DC的中點，過E、F作弦MN，若⊙O的半徑為12．
（1）求弦MN的長；
（2）連結(jié)OM、ON，求圓心角∠MON的度數(shù)．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：（1）首先連接OE，OF，OD，OM，ON，由正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E、F分別為DA、DC的中點，易得四邊形OEDF是正方形，繼而可得OG=

1

2

OD=

1

2

OM，然后由勾股定理求得MG的長，由垂徑定理即可求得答案；
（2）由OG=

1

2

OM，可求得∠M的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：解：（1）連接OE，OF，OD，OM，ON，
∵E、F分別為DA、DC的中點，
∴OE⊥AD，OF⊥CD，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴四邊形OEDF是矩形，OE=OF，
∴四邊形OEDF是正方形，
∴OG=

1

2

OD=

1

2

×12=6，OD⊥MN，
∴MG=

OA2-OG2

=6

3

，
∴MN=2MG=12

3

；

（2）∵在Rt△MOG中，OM=2OG，
∴∠M=30°，
∵OM=ON，
∴∠N=∠M=30°，
∴∠MON=120°．

點評：此題考查了正多邊形與圓的知識、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．