Question

12．如圖，點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)y=-$\frac{9}{x}$在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$上運(yùn)動(dòng)，則k的值為3．

Answer 1

分析 連接CO，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△AOD∽△OCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△AOD和△OCE面積比，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征求出S_△AOD，得到S_△EOC，求出k的值．

解答 解：連接CO，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
則∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴$\frac{AD}{EO}$=$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OA}{OC}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△EOC}}$=（$\sqrt{3}$）²=3，
∵點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)y=-$\frac{9}{x}$在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×|xy|=$\frac{9}{2}$，
∴S_△EOC=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$×OE×CE=$\frac{3}{2}$，
∴k=OE×CE=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△AOD∽△OCE是解題關(guān)鍵．