Question

如圖，在△ABC中，中線CD⊥AC，CD=AC，點(diǎn)E在AB上，且AE=

1

2

EB，EF∥DC，交AC于點(diǎn)F．
（1）△EDF與△DCB相似嗎？為什么？（提示：設(shè)AE=a）
（2）判斷∠CDF與∠B是否相等，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：常規(guī)題型

分析：（1）設(shè)AE=a，則BE=2a，則AB=3a，可計(jì)算出AD=BD=

3

2

a，DE=AD-AE=

1

2

a，由CD⊥AC，CD=AC得到△ACD為等腰直角三角形，所以CD=

2

2

AD=

3 2

4

a；根據(jù)EF∥CD得到∠DEF=∠BDC，△AEF∽△ADC，再利用相似的性質(zhì)得

EF

CD

=

AE

AD

，可表示出EF=

2

2

a，由于

EF

BD

=

DE

CD

=

2

3

，且∠DEF=∠CDB，于是根據(jù)三角形相似的判定即可得到△DEF∽△CDB；
（2）先由△DEF∽△CDB得到∠DFE=∠B，再利用EF∥CD得到∠DFE=∠CDF，所以∠CDF=∠B．

解答：解：（1）△EDF與△DCB相似．理由如下：
設(shè)AE=a，則BE=2a，
∴AB=3a，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=

3

2

a，
∴DE=AD-AE=

1

2

a，
∵CD⊥AC，CD=AC，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴CD=

2

2

AD=

3 2

4

a，
∵EF∥CD，
∴∠DEF=∠BDC，
∴△AEF∽△ADC，
∴

EF

CD

=

AE

AD

，即

EF

3 2 4 a

=

a

3 2 a

，解得EF=

2

2

a，
∵

EF

BD

=

2 2 a

3 2 a

=

2

3

，

DE

CD

=

1 2 a

3 2 4 a

=

2

3

，
∴

EF

BD

=

DE

CD

，
而∠DEF=∠CDB，
∴△DEF∽△CDB；
（2）∠CDF與∠B相等．理由如下：
∵△DEF∽△CDB，
∴∠DFE=∠B，
∵EF∥CD，
∴∠DFE=∠CDF，
∴∠CDF=∠B．

點(diǎn)評：本題考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了相似的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．