Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)（x，y）稱為整點(diǎn)，如果將二次函數(shù)y=x²-6x+

11

4

的圖象與直線y=-x所圍成的封閉圖形染成紅色，則此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)方程組組

y=-x y=x2-6x+ 11 4

得到兩函數(shù)的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再找出從A到B自變量為整數(shù)的個(gè)數(shù)（1、2、3、4），然后把它們分別代入兩函數(shù)解析式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，于是可寫出紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：y=x²-6x+

11

4

=（x-3）²-

25

4

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

25

4

），
解方程組

y=-x y=x2-6x+ 11 4

得

x= 5- 14 2 y= -5+ 14 2

或

x= 5+ 14 2 y= -5- 14 2

，
所以二次函數(shù)y=x²-6x+

11

4

的圖象與直線y=-x的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為

5- 14

2

，

5+ 14

2

），如圖，
∵

5- 14

2

≤x≤

5+ 14

2

的整數(shù)解為1，2，3，4，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x=-1，y=x²-6x+

11

4

=-

9

4

，則點(diǎn)（1，-1），（1，-2）滿足條件；
當(dāng)x=2時(shí)，y=-x=-2，y=x²-6x+

11

4

=-

21

4

，則點(diǎn)（2，-2），（2，-3），（2，-4），（2，-5）滿足條件；
當(dāng)x=3時(shí)，y=-x=-3，y=x²-6x+

11

4

=-

25

4

，則點(diǎn)（3，-3），（3，-4），（3，-5），（3，-6）滿足條件；
當(dāng)x=4時(shí)，y=-x=-4，y=x²-6x+

11

4

=-

21

4

，則點(diǎn)（4，-4），（4，-5）滿足條件．
故答案為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

．學(xué)會(huì)把求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題．