Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O與AC相交于點(diǎn)D，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠C=45°，則∠ABC=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到BC是⊙O的切線；
（2）連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=CD=BD，所以弓形AD的面積與弓形BD的面積相等，則圖中陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$S_△ABC，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接BD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD=CD=BD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴圖中陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AB×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和不規(guī)則幾何圖形的面積的計(jì)算方法．