Question

5．已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點P（2，m），與x軸交于A（p，0），B（q，0），且0＜p＜q＜2
（1）若p=1，m=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)的表達式并寫出當(dāng)y＞0時的x的取值范圍；
（2）求證：m＞0；
（3）若c≥1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）點P、點A代入即可求出拋物線解析式；
（2）可以根據(jù)已知畫出二次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象分析可以證明m＞0．
（3）利用二次函數(shù)交點式與一般式寫出等式，根據(jù)特殊點帶入，求出cm的一個代數(shù)式，通過展開代數(shù)式和代數(shù)式因式分解，即可證明m＜1．

解答 解：（1）由二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點P（2，$\frac{1}{2}$）和點A（1，0），
可得$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=\frac{1}{2}}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得到$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{2}}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
（2）∵二次函數(shù)y=x²+ax+b二次項系數(shù)為1，
∴二次函數(shù)圖象拋物線開口向上．
∵二次函數(shù)y=x²+ax+b的圖象經(jīng)過點P（2，m），與x軸交于A（p，0），B（q，0），且0＜p＜q＜2，如圖：

∴二次函數(shù)當(dāng)x=q時，y=0，且x＞q時，y隨x的增大而增大，
∴m＞0；
（3）由已知得：x²+ax+b=（x-p）（x-q），
令x=0得c=pq，
令x=2得m=（2-p）（2-q），
∴cm=pq（2-p）（2-q）=[1-（x-p）²][1-（q-1）²]，
∵0＜p＜q＜2，
0＜1-（x-p）²＜1，0＜1-（q-1）²＜1，
并且1-（x-p）²=1和1-（q-1）²=1不能同時成立，
∴0＜cm＜1，
又∵c≥1，
∴m＜1．

點評 考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的經(jīng)銷商以及二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點知識，同時考查學(xué)生分析問題解決問題能力，特別是代數(shù)式的變形，更能看出本題作為奧數(shù)解答題的重要性．