Question

3．已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
（2）當(dāng)方程的根都為整數(shù)時(shí)，求整數(shù)m的值；
（3）設(shè)二次函數(shù)y=mx²-（3m+2）x+2m+2（m＞0），將此二次函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位，若其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)恰好落在（3，0）和（4，0）之間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）找出a，b及c，表示出根的判別式，變形后得到其值大于0，即可得證；
（2）利用因式分解法求得方程的兩個(gè)根，結(jié)合方程的根是整數(shù)、m是整數(shù)進(jìn)行解答；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位，若其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），根據(jù)交點(diǎn)在（3，0）和（4，0）之間，于是得到$\left\{\begin{array}{l}{（3-{x}_{1}）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（4{-x}_{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{（x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（{x}_{2}-4）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-2m}{m}＞0}\\{\frac{6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m-6}{m}＞0}\\{\frac{-6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$解不等式組即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：△=b²-4ac=（3m+2）²-4m（2m+2）=（m+2）²，
∵m＞0，（m+2）²＞0，即△＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵mx²-（3m+2）x+2m+2=（x-1）（mx-2m-2）=0，
∴x₁=1，x₂=2+$\frac{2}{m}$，
∵方程的根都為整數(shù)，
∴m=1，或2；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位，若其與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x₁，0），（x₂，0），
∵交點(diǎn)在（3，0）和（4，0）之間，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（3-{x}_{1}）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（4{-x}_{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{（x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）＞0}\\{（4-{x}_{1}）（{x}_{2}-4）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6-2m}{m}＞0}\\{\frac{6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m-6}{m}＞0}\\{\frac{-6m-8}{m}＞0}\end{array}\right.$
解得：$-\frac{4}{3}$＜m＜3，
∴m的取值范圍是：$-\frac{4}{3}$＜m＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的圖象及函數(shù)圖象的平移，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．