Question

9．如圖①，三個(gè)直徑為a的等圓⊙P、⊙Q、⊙O兩兩外切，切點(diǎn)分別是A、B、C．
（1）那么OA的長(zhǎng)是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）探索：現(xiàn)有若干個(gè)直徑為a的圓圈分別按如圖②所示的方案一和如圖③所示的方案二的方式排放，那么這兩種方案中n層圓圈的高度h_n=na，h′_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a（用含n、a的代數(shù)式表示）；
（3）應(yīng)用：現(xiàn)有一種長(zhǎng)方體集裝箱，箱內(nèi)長(zhǎng)為6米，寬為2.5米，高為2.5米，用這種集裝箱裝運(yùn)長(zhǎng)為6米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形銅管，你認(rèn)為采用第（2）題中的哪種方案在這種集裝箱中裝運(yùn)銅管數(shù)多？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)，易得△OPQ是等邊三角形，然后等邊三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解，即可求得答案；
（2）n個(gè)圓的直徑即為②中的高，結(jié)合（1），由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算③中的高；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論進(jìn)行分析求即即可求得答案．

解答 解：（1）連接OA，
∵三個(gè)直徑為a的等圓⊙P、⊙Q、⊙O兩兩外切，
∴OP=PQ=OQ=a，
∴△OPQ是等邊三角形，
∴∠OPQ=60°，
∵AP=AQ，
∴OA⊥PQ，
∴OA=OP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$；

（2）如圖②：高度h_n=na；
如圖③：h′_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a；
故答案為：na，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a；

（3）方案二在這種集裝箱中裝運(yùn)銅管數(shù)多．
理由：方案一：0.1n≤2.5，
解得：n≤25，
25×25=625．
方案二：根據(jù)題意，第一層排放25根，第二層排放24根，
設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）×0.1+0.1≤2.5，
解得n≤28.7．
∵n為正整數(shù)，
∴n=28．
鋼管放置的最多根數(shù)為：25×14+24×14=686（根）．
∴方案二在這種集裝箱中裝運(yùn)銅管數(shù)多．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意得到規(guī)律h′_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a是關(guān)鍵．