Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=1，在x軸上截得的線段長為4，并且與過點C（-1，2）的直線相交于點D（2，-3）．
（1）求這條拋物線與直線CD的解析式；
（2）設此拋物線與x軸交于點A、B，且點A在點B左側，如果點P在直線CD上，使△ABP是直角三角形，求點P的坐標；
（3）若（2）中的∠APB是銳角，求點P的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用對稱軸得出b=-2a，再運用x軸上截得的線段長為4，得出c=-3a，把（2，-3）解析式求解即可得出拋物線的關鍵式，設直線CD的解析式為y=kx+b，把C（-1，2），點D（2，-3）代入，即可得出直線CD的解析式．
（2）①由點C、A的橫坐標相同，所以AC⊥x軸得出點P的坐標②同理，令BP₂⊥x軸得出P₂的坐標③設P3（t，-

5

3

x+

1

3

），根據(jù)射影定理要使其成為直角三角形，列式解出t的值，即可得出P的坐標．
（3）根據(jù)（2）問的P3，P4，結合題形即可得出點P的橫坐標的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的稱軸是x=1，
∴b=-2a
∵拋物線y=ax²+bx+c在x軸上截得的線段長為4，
∴方程ax²+bx+c=0中x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

，
∴4=

4- 4c a

，得c=-3a
∴y=ax²-2ax-3a，把（2，-3）代入，解得a=1，b=-2，c=-3，
∴拋物線y=x²-2x-3
設直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（-1，2），點D（2，-3）代入得

2=-k+b -3=2k+b

，
解得

k=- 5 3 b= 1 3

．
∴直線為y=-

5

3

x+

1

3

（2）如圖，

①∵點C、A的橫坐標相同，所以AC⊥x軸
∴P₁與C重合，△ABP是直角三角形，
∴P₁（-1，2）
②同理，令BP₂⊥x軸
P₂縱坐標為：-

5

3

×3+

1

3

=-

14

3

所以P₂（3，-

14

3

）
③設P3（t，-

5

3

x+

1

3

），
根據(jù)射影定理要使其成為直角三角形
（-

5

3

t+

1

3

）²=[t-（-1）]（3-t），化簡得17t²-14t-13=0，
解得：t₁=

7+3 30

17

t₂=

7-3 30

17

綜合上述
P1（-1，2）
P2（3，-

14

3

）
P3（

7+3 30

17

，

-15 30 -18

51

）
P4（

7-3 30

17

，

15 30 -18

51

）
（3）根據(jù)（2）問的P3，P4，得
P_橫坐標＞

15 30 -18

51

或P_橫坐標＜

-15 30 -18

51

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題，解題的關鍵是能分三種情況討論點P的坐標．