Question

6．如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，點G，A，B在同一條直線上，點H，C，D在同一條直線上．
（1）圖①中，AE，CF分別是∠BAD和∠DCB的平分線，則AE與CF的位置關系？
（2）圖②中，AE，CF分別是∠GAD和∠HCB的平分線，則AE與CF的位置關系？
（3）圖③中，AE，CF分別是∠BAD和∠HCB的平分線，則AE與CF的位置關系？
（4）請從（1）（2）（3）題中任選一個，證明你得出的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合圖形易得圖1中AE與CF的位置關系；
（2）結(jié)合圖形易得圖2中AE與CF的位置關系；
（3）結(jié)合圖形易得圖3中AE與CF的位置關系；
（4）圖1中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．根據(jù)角平分線的定義，可得∠1與∠3互余，再由三角形的內(nèi)角和定理得∠1與∠5也互余，同角的余角相等，得出∠3=∠5，根據(jù)同位角相等兩直線平行，得證AE∥FC．

解答 解：（1）圖1中AE∥FC；
（2）圖2中AE∥FC；
（3）圖3中AE⊥FC．

（4）選擇圖1證明．如圖1：
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）=360°-180°=180°，
又∵AE、CF分別是∠BAD和∠DCB的內(nèi)角平分線，
∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠BCD）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
又∵∠B=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴AE∥FC；
選擇圖2證明，如圖2，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-2×90°=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=90°，
∴∠GAD=∠BCD，
∵AE是∠GAD的角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠GAD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
同理可得：∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠1+$\frac{1}{2}$∠BAD=90°，
延長CD交AE于點P，∠ADC=90°，
∴∠1+∠P=90°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠BAD，
即∠P=∠2，
∴AE∥FC（同位角相等，兩直線平行）；
選擇圖3證明．如圖3：
∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE、AF分別是∠BAD和∠DCB的內(nèi)角平分線和外角平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，
∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠CMA=∠B=90．
∴AE⊥CF．

點評 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角．本題是一道探索性條件開放性題目，能有效地培養(yǎng)學生“執(zhí)果索因”的思維方式與能力．