Question

3．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，并且∠A=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD為矩形；
（2）點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”進(jìn)行證明；
（2）延長(zhǎng)DA，CE交于點(diǎn)G，證明△AGE≌△BCE，得出AG=BC，再證明CF=FG即可，設(shè)DF=x，根據(jù)勾股定理得出：CD²=CF²-DF²=CG²-DG²，列出方程5²-x²=8²-（5+x）²，解方程求出x，得DF的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四邊形ABCD為矩形；

（2）解：延長(zhǎng)DA，CE交于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB邊的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠ECB}\\{∠GAE=∠B=90°}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
若CE=4，CF=5，
設(shè)DF=x，
根據(jù)勾股定理得：CD²=CF²-DF²=CG²-DG²，
即5²-x²=8²-（5+x）²，
解得：x=$\frac{7}{5}$，即DF=$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理的運(yùn)用；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．