Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓，交BC邊于點D，與AC邊相切于點E．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）若CD：BD=1：2，AC=3

3

，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OE，可證得OE∥BC，結(jié)合平行線的性質(zhì)和圓的特性可求得∠OBE=∠CBE，可得出結(jié)論；
（2）設(shè)AB交⊙O于點F，連接FD，可知FD∥AC，利用平行線分線段成比例可求得AF=OB=OF，可得AE：AC=2：3，可得到OE與BC的關(guān)系，在Rt△DEB中利用勾股定理可求得CD的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接OE，

∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴OE∥BC，
∴∠OEB=∠CBE=∠OBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：如圖2，設(shè)AB交⊙O于點F，連接FD，

設(shè)CD=x，OB=OF=OE=r，則BD=2x，BC=3x，
∵BF為直徑，
∴∠FDB=∠C=90°，
∴DF∥AC，
∴

BF

AF

=

BD

CD

=2，
∴AF=r，AB=3r，
∴

FD

AC

=

BF

BA

=

2

3

，即

FD

3 3

=

2

3

，
∴FD=2

3

，
又∵OE∥BC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，即

r

3x

=

2

3

，
∴r=2x，
∴BF=4x，
在Rt△BDF中，由勾股定理可得BF²=DF²+BD²，
即（4x）²=（2

3

）²+（2x）²，解得x=1，
∴CD的長為1．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例，掌握連接圓心和切點的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，注意利平行線分線段成比例的中的線段的對應(yīng)．