Question

20．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B（-2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC、AB．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）判斷△ABC的形狀，并加以說明；
（3）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則能使△PDC稱為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有5個(gè)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)解析式求得A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得AB、AC、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形；
（3）分類討論：當(dāng)CD=DE時(shí)，當(dāng)EC=DE時(shí)，當(dāng)CD=CE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．
（4）分三種情況討論即可求得．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+4（a≠0）的圖象與x軸交于B（-2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）令x=0，則y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=4，
∴A（0，4），
∵B（-2，0）、C（8，0），
∴AB²=4²+2²=20，AC²=8²+4²=80，BC²=（8+2）²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；
（3）在線段BC上是存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，
由二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4知對(duì)稱軸x=3，
∴D（3，0）．
∵C（8，0），
∴CD=5．
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，
將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
E在線段AC上，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．
①當(dāng)CD=DE時(shí)，即（m-3）²+（-$\frac{1}{2}$m+4）²=25，解得m₁=0，m₂=8（不符合題意舍去），
當(dāng)m=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$m+4=4，
∴E₁（0，4）；
②當(dāng)EC=DE時(shí)，（m-8）²+（-$\frac{1}{2}$m+4）²=（m-3）²+（-$\frac{1}{2}$m+4）²，解得m₃=$\frac{11}{2}$，
當(dāng)m=$\frac{11}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$m+4=$\frac{5}{4}$，
∴E₂（$\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
 ③當(dāng)CD=CE時(shí)，（m-8）²+（-$\frac{1}{2}$m+4）²=25，解得m₄=8+2$\sqrt{5}$，m₅=8-2$\sqrt{5}$（不符合題意舍），
當(dāng)m=8+2$\sqrt{5}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$m+4=-$\sqrt{5}$，即E₃（8+2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）；
綜上所述：所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（0，-4）； E₂（$\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）；E₃（8+2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．
（4）①當(dāng)CD是等腰三角形的底時(shí)，線段CD的垂直平分線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)即為P點(diǎn)；
②當(dāng)CP為底時(shí)，以D為圓心，以5為半徑的圓與拋物線的4個(gè)交點(diǎn)中的2個(gè)（除去B、C點(diǎn)）即為所求的P點(diǎn)；
③當(dāng)PD為底時(shí)，以C為圓心，以5為半徑的圓與拋物線的2個(gè)交點(diǎn)即為P點(diǎn)；
故能使△PDC稱為等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有5個(gè)．
故答案為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．