Question

已知：等邊△ABC，D、E分別是射線AC、射線BC上的點(diǎn)，且∠BAE=∠CBD＜60°，DH⊥AB點(diǎn)H．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在邊AC、邊BC上時(shí)，求證：AC=2AH+BE；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC延長線和CB延長線上時(shí)，線段AC、AH、BE的數(shù)量關(guān)系為：

 

；
（3）在（2）的條件下，如圖3，作EK∥BD交射線AC于點(diǎn)K，連接HK，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)P，當(dāng)AC=6，BE=2時(shí)，求線段BP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)ASA，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，可得BE=CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AD與AH的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（2）根據(jù)ASA，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，可得BE=CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AD與AH的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得BD，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得CK、EK的長，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，可得BM=BH=HM=2，根據(jù)相似三角形的判定，可得

HM

KC

=

MG

CG

，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得MG，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

BP

EK

=

GB

GE

，可得答案．

解答：解：（1）如圖1，

∵△ABC為等邊三角形
∴∠ABC=∠C=∠CAB=60°，AB=BC，
∵∠BAE=∠CBD，
在△ABE和△BCD中，

∠BAE=∠CBD AB=BC ∠ABE=∠BCD

，
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴BE=CD．
∵DH⊥AB，
∴∠DHA=90°
∵∠CAB=60°
∴∠ADH=30°，
∴AD=2AH，
∴AC=AD+CD=2AH+BE；
（2）AC+BE=2AH；
（3）如圖2，作DS⊥BC延長線于點(diǎn)S，作HM∥AC交BC于點(diǎn)M，
∵AC=6，BE=2
∴由（2）得AH=4，BH=2 
與（1）同理可得BE=CD=2，CE=8，
∵∠SCD=∠ACB=60°，
∴∠CDS=30°，
∴CS=1，SD=

3

，BS=7．
∵BD²=BS²+SD²=7 2+(

3

)2
∴BD=2

13

，
∵EK∥BD，
∴△CBD∽△CEK
∴

CB

CE

=

CD

CK

=

BD

EK

．
∴CK=

8

3

，EK=

8 13

3

．
∵HM∥AC，
∴∠HMB=∠ACB=60°
∴△HMB為等邊三角形，BM=BH=HM=2，
CM=CB-BM=4，
∵HM∥AC，
∴∠MHG=∠CKG，∠HMG=∠KCG，
∴△HMG∽△KCG，
∴

HM

KC

=

MG

CG

，
即

2

8 3

=

MG

4-MG

，MG=

12

7

，BG=

26

7

，EG=

40

7

．
∵EK∥BD
∴△GBP∽△GEK，
∴

BP

EK

=

GB

GE

，
∴BP=

26 13

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．